Задания конкурса "Этот прекрасный удивительный и загадочный мир" Математика
5 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Мышиные истории
Незаметные спутники человека, которые обнаруживают себя чаще всего только ночью – это мыши. А насколько велики они? Давайте решим следующую задачку. Мышь, мышонок и сыр в мышеловке вместе весят 180 г. Мышь весит на 110 г больше, чем мышонок и сыр, вместе взятые. Сыр весит в три раза меньше, чем мышонок. Сколько весит каждый из них?
Мышки малы и их потребности не высоки. А если мышей много? Какой они могут нанести урон нашим запасам? Давайте разберемся на примере. 100 мышей за 100 дней съедают 200 кг крупы. Сколько зерна съедят 10 мышей за 10 дней?
Мыши достаточно прожорливы, поэтому люди ещё в давние времена приручили кошек – естественных врагов мышей. Вековечная борьба между хищником и его жертвой приобрела новые краски и значение. Теперь кошки не только удаляли свой голод, но и охраняли, сами того не подозревая, продуктовые запасы человека. Причем многие из них прекрасные добытчики пропитания для себя и котят. Можете в этом сами убедится. Несколько кошек съели 157 мышек, причем все кошки съели по одинаковому числу мышек. Сколько было кошек, если каждая кошка съела больше мышек, чем было кошек?
А что мыши? Они выжили, так как проявляют чудеса ловкости и хитрости. Хотите доказательства – пожалуйста! Мышке до норки по прямой 20 шагов. Кошке до мышки по той же прямой 5 прыжков. Пока кошка совершит 1 прыжок, мышка сделает 3 шага, а кошачий прыжок равен по длине 10 мышиным шагам. Мышка находится на прямой между кошкой и норкой. Догонит ли кошка мышку?
Лабораторные исследования подтверждают достаточно высокий интеллект мышей. Например, одна из лабораторных головоломок для определения уравнения интеллекта мышей – лабиринт. Мышка бежит по лабиринту, который устроен так, что сначала она должна выбрать одну из двух дверей, затем одну из трех дверей, а за каждой из них её ожидают четыре двери. Пройдя какую-либо дверь, мышь не может вернуться через неё обратно. Сколькими различными путями мышь может пройти лабиринт от начала до конца?
Человек придумал множество технических устройств для поимки мышей, так называемых, мышеловок. А насколько они эффективны? Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? (Именно там, в центральном кубике, спрятан крючок мышеловки.)
Пронырливость и вездесущность мышей давно стали притчей «во языцех». Но так ли это на самом деле? Глобус стянули проводом по экватору. Затем увеличили провод на 1 см. Пролезет ли мышка в образовавшийся зазор?
То, что самый вкусный и бесплатный сыр - в мышеловке, мыши, конечно, знают, но попадаются достаточно редко, поэтому их славному мышиному роду все нипочем. Они всегда будут рядом с нами, подбирая, что плохо лежит или потеряно. А мы никогда не прекратим нашу войну с ними, в которой, по-видимому, не будет победителя. Ну и ладно!
Заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9, но так, чтобы в любой строке по горизонтали и по вертикали и в каждом из девяти блоков, отделенных жирными линиями, не было двух одинаковых цифр. Желаем удачи!
6 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Веселая математическая школа
Школа – это то, что объединяет всех людей. Школу посещают все независимо от цвета кожи, национальности, вероисповедания. Школа – это счастливое детство всех мальчишек и девчонок. Давайте пройдемся по её длинным коридорам.
В школе 33 класса, 820 учеников. Найдется ли класс, в котором меньше 25 учеников?
Зайдемте в какой-нибудь кабинет. Сейчас в 9 «А» классе идет факультатив, на котором присутствуют учитель и несколько учеников. Сколько учеников в классе, если известно, что возраст учителя на 40 лет больше среднего возраста учеников и на 36 лет больше среднего возраста всех присутствующих в классе?
Когда весь класс в сборе, а это происходит обычно во время уроков, в классе 25 учеников. Найдется ли такой месяц в году, в котором отмечают день рождения не менее 3 учеников этого класса?
В классе, как мы уже узнали, 25 учеников. Из них: 15 школьников занимаются в математическом кружке, 11 – в экологическом, 6 ребят не посещают эти кружки. Сколько экологов увлекаются математикой?
В школьной математической олимпиаде принимали участие 9 учеников класса. За каждую решенную задачу ученик получал 2 очка, а за каждую нерешенную задачу с него списывалось 1 очко. Всего было предложено 10 задач. Докажите, что среди участников олимпиады из девятого класса было, по крайней мере, два ученика, набравшие одинаковое число очков. (Считается, что ученик, набравший больше штрафных очков, чем зачетных, набрал нуль очков).
В классе девочек, которым нравится математика, столько же, сколько и мальчиков, которым не нравится математика. Кого в классе больше: учеников, которым нравится математика или мальчиков?
Дети и в этом классе – дети, озорные и непоседливые. Заводилами являются Вовочка и Машенька. В дневнике у Вовочки уже записано 200 замечаний, а у Машеньки – 112. Через сколько недель они сравняются, если Машенька получает на 22 замечания в неделю больше, чем Вовочка?
В параллельном классе, 9 «Б», вторую контрольную работу по арифметике ученики выполнили значительно лучше, чем первую, только один ученик получил более низкую оценку. Первый раз 4 ученика имели двойки, теперь они получили тройки, и лишь один ученик получил двойку. Половина учеников, получивших теперь тройки, по первой работе имела те же оценки, а остальные прежние троечники, кроме одно, улучшили свои оценки. Пятерок получили в полтора раза больше, чем троек, а четверок на 3 больше, чем пятерок. Сколько учеников в классе?
Бытует мнение, что «школа - это место, где шлифуют булыжники и губят алмазы» (Роберт Ингерсолл). Но это не наш случай. Педагог, любящий свое дело и своих учеников, даже среди булыжников находит не огранённые алмазы, а бриллианты получают индивидуальную огранку, помогающую выразить всё достоинство данного кристалла.
Заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9, но так, чтобы в любой строке по горизонтали и по вертикали и в каждом из девяти блоков, отделенных жирными линиями, не было двух одинаковых цифр. Желаем удачи!
7 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Врачи и медицина
Когда мы встречаем знакомого человека или друга мы говорим ему: «Здравствуйте!». Мы желаем ему здоровья, то без чего невозможно представить счастливого человека. Здоровье не купишь, им можно только расплачиваться. Любой, кто способен утром выбраться из постели, находится в очень приличной форме. Спросите любого из тех, кто уже не способен.
Есть люди, которые посвятили здоровью людей всю свою жизнь – эти люди врачи. Они отличаются от нас только тем, что имеют меньше, чем мы, иллюзий в отношении, как всего человечества, так и отдельного человека. Но это никак не мешает им оставаться в нашем сознании воплощением благородства и сострадания. А они такие же как мы люди.
Посещение больницы начинается с очереди. В приемной у врача ожидают своей очереди две женщины и десять мужчин. К их услугам восемь экземпляров последнего номера журнала и четыре экземпляра утренней газеты. Сколькими способами могут они распределить газеты и журналы между собой, если обе женщины непременно хотят читать одно и то же?
Мы уверены, что доктора только о том и думают, как о болячках, опухолях, вирусах. А они также беззащитны перед всеми несчастьями мира.
Отец с сыном попали в аварию. Отец скончался в госпитале. К сыну в палату заходит хирург и, показывая на него, говорит «Это мой сын». Могут ли эти слова быть правдой?
Двенадцать врачей пригласили по этому поводу на консилиум, который проходил за круглым столом. После перерыва они вновь сели за этот стол, но в другом порядке. Докажите, что найдутся такие два врача, что между ними (считая от первого ко второму по часовой стрелке) во второй раз оказалось столько же собеседников, что и в первый раз.
Врач дал, в соответствие с рекомендованным лечением, пострадавшему пакетик с таблетками и велел принимать ежедневно по четверти таблетки. Тот так и сделал, причем каждый раз он вынимал из пакетика наугад что попадется. Если попадалась целая таблетка, он разламывал её на 4 части, одну из которой съедал, а остальные возвращал обратно; если же попадалась ранее отломленная четвертинка, он её просто проглатывал. После месяца такого лечения в пакетике оказалось в 8 раз больше четвертинок, чем целых таблеток, а ещё через 3 месяца осталось лишь 5 целых таблеток. Сколько осталось четвертинок?
Также, лечащий врач прописал 3 укола через каждые полчаса. Сколько потребуется времени на все уколы?
Больница без врача никогда не остается, потому что в любой момент может понадобиться его помощь. Составьте коллективу врачей больницы такое расписание дежурств на неделю, чтобы каждый день на дежурство выходили трое и каждые двое дежурили вместе ровно один раз. Сколько минимально врачей должно быть в такой больнице? Сколько раз должен дежурить каждый из них?
Незаметно совместная работа объединяет людей, и они проводят вместе не только рабочее время, но и отдыхают, порой, вместе. Как-то собрались трое медиков вместе со своими супругами. Один из них был терапевтом, другой – психиатром, а третий – офтальмологом. Жена Иванова, весьма крупная женщина, оказалась на столько же выше ростом терапевта, на сколько он был выше своей жены. Женщина, рост которой ближе всего совпадал с ростом терапевта, весила столько же, сколько и он, тогда как госпожа Петрова весила на 10 кг меньше. Что касается доктора Кузнецова, то он весил на 20 кг больше офтальмолога. Какова фамилия психиатра?
Жизнь человека есть непрерывное торжество над болезнями и смертью. Но, несмотря на то, что у нас есть профессиональные помощники, стоящие на защите нашего здоровья – врачи, пора перестать ждать неожиданных подарков от жизни, а самому делать жизнь. «Как ни стар, как ни болен, как ни мало сделал, все твое дело жизни не только ни кончено, но не получило ещё своего окончательного, решающего значения до последнего издыхания. Это радостно, бодрительно» (Л. Н. Толстой). Берегите своё здоровье!
Заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9, но так, чтобы в любой строке по горизонтали и по вертикали и в каждом из девяти блоков, отделенных жирными линиями, не было двух одинаковых цифр. Желаем удачи!
8 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Хорошая книга скорее твой друг, а не просто источник информации
Книга на столе или в рюкзаке – это две разные книги. Они и воспринимаются по-разному. Некоторые из книг, как хорошие учителя, учат тебя уму-разуму, другие, как хороший товарищ, поддержат тебя в трудную минуту. Но не все книги одинаково хороши. «Если бы печатали только полезное, то было бы в сто раз менее книг» (Вольтер). Поэтому «человек, не читающий никаких книг, ничуть не хуже того, который верит во все, что он находит в книгах».
Мы сегодня поговорим не о содержании книг, а совсем о другом - о математике для библиофила. Книга для него необходима, как хлеб насущный. И он не пожалеет никаких денег. Но прежде чем раскошелиться пусть раскинет мозгами и решит следующую задачу. Книга стоит 100 рублей и ещё половину стоимости книги. Сколько стоит книга?
Или вот ещё одна задача. Цена второй купленной книги снизилась в магазине во время распродажи на столько процентов, на сколько она снизилась рублей. Какова была цена книги?
Каждая страница хорошей книги по своему уникальна, и испещрена заметками вдумчивого читателя на своих полях, позволяющие ему не раз вернуться к этому месту для размышлений или для цитирования в своей работе. Для поиска необходимых фрагментов текста помогает нумерация книжных страниц. Предлагаю несколько задачек для размышления. В нашей книге 80 страниц. Все они, кроме первых двух, пронумерованы. Сколько цифр потребовалось для нумерации страниц этой книги?
Ещё одна задача. Из старой книги выпал её кусок. Первая страница куска имеет номер 387, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?
Неужто решили и эту задачу? А теперь попробуйте справиться со следующей задачей. В книге 120 страниц, одна из которых отведена под титул, одна под аннотацию и ещё одна под оглавление. На остальных страницах напечатаны сказки. Каждая сказка начинается с новой страницы. Сумма номеров страниц, с которых начинаются сказки, впятеро меньше суммы номеров, на которые они заканчиваются. Сколько сказок в книге?
Настоящий книгочей любит перебирать книги, находя им новое место на тесных полках. Причина – желание ещё раз прикоснуться к любимым книгам. Но такая ли это легкая задача? На полке в произвольном порядке стоит десятитомное собрание сочинений Ильфа и Петрова. Библиотекарь может взять любой том и поставить его на пятое место (считая слева). Докажите, что с помощью нескольких таких операций библиотекарь сможет расставить тома в порядке возрастания номеров.
Усложним задачу. Пять томов энциклопедии расположены в порядке возрастания их номеров с первого по пятый. Требуется поставить эти тома в обратном порядке, переставляя за один раз лишь два соседних тома. За какое наименьшее число таких перестановок этого можно добиться?
А вот ещё одна задача. На двух книжных полках было 96 книг. Когда с одной полки переложили на вторую полку 4 книги, то на второй полке оказалось книг в два раза меньше, чем на первой. Сколько книг было первоначально на каждой полке?
У книги есть и враги среди людей – вандалы и равнодушные. Есть и другие враги – жучки и червячки, которые не прочь полакомиться прекрасным произведением. На книжной полке в правильном порядке стоит трехтомное собрание сочинений некоего автора. Толщина первого тома равна 17 мм, второго 15 мм, а третьего – 12 мм. Толщина переплета равна 1 мм (она входит в толщину тома). Книжный червь прополз от первой страницы первого тома до последней страницы третьего тома. Какой длины путь прополз червяк?
У каждой хорошей книги есть и свои фанаты, например «толкиенисты», а есть и те, кто любят книгу как источник знаний, как друга, как учителя – библиофилы. Их легко отличить от других по тому, с какой скоростью они «проглатывают» страницу за страницей книги, захватившей их. Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и ещё 16 страниц, во второй день – 0,3 остатка и ещё 20 страниц. В третий день 0,75 остатка и последние 30 страниц книги. Сколько страниц в книге?
Книги никогда не умрут – они, естественно, будут меняться, но и в следующем веке всегда найдутся любители посидеть с книгой.
В эпоху расцвета кино обещали смерть театра, но театр не умер, хотя теперь у него стало ещё больше конкурентов, таких как телевидение и интернет. Также и книге уготована долгая жизнь. Во всяком случае, пока существует человечество.
Заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9, но так, чтобы в любой строке по горизонтали и по вертикали и в каждом из девяти блоков, отделенных жирными линиями, не было двух одинаковых цифр. Желаем удачи!
9 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Путешественники по родной стране
Путешественники по диким участкам земного шара должны быть не только храбрыми, но и разумными людьми, а иначе их путешествие может закончиться печально.
После составления плана путешествия необходима соответствующая экипировка. Экономия на экипировке может обойтись в походе слишком дорого, поэтому необходимо брать лучшее и только необходимое. В магазине спортивных товаров туристы покупали снаряжение. Первый купил топорик и спальный мешок, заплатив 1800 рублей. Второй купил два спальных мешка и рюкзак, заплатив 3500 рублей. Третий купил топорик, спальный мешок и палатку, заплатив 6800 рублей. Четвертый купил рюкзак, два спальных мешка и две палатки. Сколько заплатил четвертый турист?
В четверг туристы отправились в поход. Мужчин было втрое больше чем женщин. Когда 4 мужчины и 4 женщины ушли готовить к реке обед, то мужчин осталось вчетверо больше, чем женщин. Сколько путешественников участвовало в походе?
В первый день туристы прошли 1/3 пути, во второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?
Ежедневно с туристкой базы по живописному маршруту отправляется группа туристов. Одновременно с ней с противоположного конца маршрута выходит другая группа в обратный путь. Переход с исходной базы до конечной в обоих случаях занимает 4 дня. Со сколькими группами туристов встречается та, в которой идете вы, включая и те две группы, с которыми встретитесь на базах?
Путешествия бывают разными и требуют разных физических навыков и специальных знаний. Но главное – должен быть хорошо разработанный план путешествия, чтобы каждый турист знал свои обязанности и те риски, с которыми ему придется встретиться, прежде чем туристы смогут добраться до цели. Давайте поможем им составить этот план в следующих 4 случаях:
1.Альпинист хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После ночевки в лагере у подножия скалы он может подниматься, навешивая веревку, со скорость 40 метров час, а после холодной ночевки на скале – 30 метров в час. По готовой веревке он поднимается со скоростью 400 м в час. За сколько дней он сможет достичь вершины, если будет работать на скале (включая подъем на веревке) 6 часов в день? (Временем спуска и других операций пренебречь.)
2. Путешественник подошел к краю пустыни, которая простирается на 80 км. Он может пройти в день только 20 км и нести с собой трехдневный запас пищи и воды. Очевидно, что, прежде чем пересечь пустыню, ему придется устроить промежуточные склады пищи и воды. Подсчитайте, сколько дней потребуется путешественнику для того, чтобы пересечь эту пустыню шириной 80 км. (Для простоты решения предполагаем, что склады продуктов и воды путешественник может устраивать только в конце дневных переходов.)
3. Турист, приехавший в Москву на поезде, весь день бродил по городу пешком. Поужинав в кафе на одной из площадей, он решил вернуться на вокзал, и при этом идти только по тем улицам, по которым он шел до этого нечетное число раз. Докажите, что он сможет это сделать.
4. Странник отправился из родного города А в самый удаленный от него город В; затем из В в самый удаленный от него город С, и т. д. Докажите, что если А и С не совпадают, то странник никогда не вернется в А. (Все расстояния между городами различны.)
Чтобы можно было точно рассчитать время прибытия, необходимо знать путь и скорость перемещения. Но не всегда это легко сделать. Можете сами в этом убедиться:
1. Город состоит из 50 кварталов, каждый из которых имеет периметр 600 м. По внешним сторонам кварталов проходит кольцевое шоссе. Турист обошел город по этому шоссе за полтора часа и прочел в справочнике, что суммарная длина всех улиц города, не считая шоссе, составляет 12 км. С какой скоростью шел турист?
2. Путешественник ехал в автобусе и увидел, что на километровом столбе написано двузначное число. Он уснул, а через час проснулся и увидел, что на километровом столбе написано трехзначное число, первая цифра которого такая же, как вторая цифра час тому назад, вторая цифра – нуль, а третья такая же, как первая цифра час тому назад. Ещё через два часа он выглянул в окно автобуса и увидел, что на километровом столбе число такое же, как два часа тому назад, только цифра нуль заменилась иной цифрой. Найдите скорость автобуса.
Россия – большая страна и мы никогда не сможем побывать везде и увидеть всё самое интересное и увлекательное. Но не за этим настоящие путешественники устремляются в путь – им хочется испытать себя и укрепить свою любовь к Родине. А для этого надо жить и действовать на этой земле как её настоящий хозяин – с терпением и верой в лучшее.
Заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9, но так, чтобы в любой строке по горизонтали и по вертикали и в каждом из девяти блоков, отделенных жирными линиями, не было двух одинаковых цифр. Желаем удачи!
10 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Мухи надоедливые
Мухи – вечные спутники человека, надоедливые и совсем не безобидные. Они являются переносчиками возбудителей холеры, дизентерии, брюшного тифа. Поэтому борьба с ними не развлечение, а необходимость.
А откуда они берутся? Большинство мух прилетают с улицы. Проследим за ними. Через открытое окно в комнату влетела муха. Расстояние от мухи до потолка менялось со скоростью 1 м/с, расстояние до стены, противоположной окну, менялось со скоростью 2 м/с, до боковой стены – со скоростью 2 м/с. Через 1 с полета муха попала в угол между потолком и боковой стеной комнаты. Какова скорость полета мухи и место в окне, через которое она влетела в комнату? Высота комнаты 2,5 м, ширина 4 м, длина 4 м.
От потолка комнаты вертикально вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее. Какая из мух раньше приползет обратно?
Но эта идиллия ненадолго, когда тучи мух начнут атаковать продукты питания и самих людей, тут не сантиментов. Тут в руки надо брать мухобойки. На форточку размером 20×30 см село 13 мух. Можно ли круглой мухобойкой диаметром 13 см прихлопнуть сразу трех мух?
На потолке в комнате сидели три мухи. Вспугнутые хозяйкой они все одновременно полетели. Какова вероятность, что в какой-то момент времени они вновь окажутся в одной плоскости?
Вспугнутые уцелевшие мухи разлетаются в разные стороны со скоростями пропорциональными расстояниям от них до места, где они только что сидели. Какую картину наблюдает каждая летящая муха?
У мух есть и естественные враги – пауки. Для паука, не как у человека, все наоборот, чем больше мух, тем более сытнее его жизнь. Но для того чтобы поймать муху пауку необходимо потрудиться – сплести паутину и сидеть в засаде. А некоторые пауки не плетут паутину – они охотятся по-другому. В двух противоположных по диагонали углах квадратной комнаты сидит паук (в углу на полу) и спит муха (в углу на потолке). Паук может двигаться к мухе кратчайшим путем двумя способами: по двум стенам длиной 4 м каждая или сначала по стене высотой 3 м, потом по потолку комнаты. Какой из этих путей короче?
По правильному тетраэдру ползают муха и два паука. Муха ползает только по ребрам, а пауки – по всей поверхности. Максимальная скорость мухи в 2 раза больше максимальной скорости пауков.
а) Докажите, что при любом начальном расположении пауки могут поймать муху.
б) Верно ли это, если максимальная скорость мухи более чем в 2 раза превосходит максимальную скорость пауков?
в) Как изменится ответ, если разрешить паукам ползать только по ребрам тетраэдра? По всему объема тетраэдра?
Некоторые любители живого любят коллекционировать насекомых, а некоторые оборудуют инсектарии для их содержания, выведения и наблюдения. Ученик собрал в инсектарии мух и пауков – всего 10. Сколько в коробке мух и пауков, если у них всего 66 ног? (У мухи – 6, а у паука – 8.)
Мухи вездесущи, поэтому нетрудно представить следующую ситуацию. Три мухи в полдень сели на секундную, минутную и часовую стрелки часов и поехали на них. Когда какая-то стрелка обгоняла другую, сидящие на этих стрелках мухи менялись местами (а если бы секундная стрелка обогнала часовую и минутную одновременно, то местами поменялись бы мухи с секундной и часовой). Сколько кругов проехала каждая из мух до полуночи?
Мухи с точки зрения математики и мухи с точки зрения биологии и физики - разные мухи. Но это говорит лишь о том, что любое наше знание фрагментарно и чтобы преодолеть естественный сепаратизм наук о природе человеку нужно потрудиться. Единая и непротиворечивая картина мира может быть построена только самим человеком и никем иным.
Заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9, но так, чтобы в любой строке по горизонтали и по вертикали и в каждом из девяти блоков, отделенных жирными линиями, не было двух одинаковых цифр. Желаем удачи!
11 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Черепашьи бега
Утверждение, что все черепахи – тихоходы, не далеко от истины, хотя сами черепахи, наверное, другого мнения. Некоторые черепахи за время своей недолгой жизни самостоятельно преодолевают расстояния в тысячи километров. И они многое могли бы рассказать о своих приключениях на суше и в воде. Вот несколько неординарных черепашьих историй:
1. Три черепахи ползали наперегонки. После окончания соревнований черепаха А заявила, что она опередила Б, черепаха Б сказала, что приползла не последней, а черепаха В утверждала, что была впереди А. Не могли бы Вы дать достаточно правдоподобное объяснение таким ответам?
2. Четыре черепахи находятся в углах квадрата со стороной L. Одновременно они начинают двигаться с постоянной по величине скоростью υ. Причем первая черепаха все время держит курс на вторую, вторая на третью, третья на четвертую, а четвертая на первую. Через какое время встретятся черепахи?
3. На одном конце резиновой ленты находится черепаха. Длина ленты - 1 км. Черепаха ползёт по ленте с постоянной скоростью 1 см/с. Через 1 с после того, как черепаха пустилась в путь, ленту растянули, и её длина стала равной 2 км. Через 2 с ленту снова растянули, и её длина достигла 3 км. Каждую следующую секунду лента удлиняется на 1 км. Доползёт ли черепаха когда-нибудь до конца резиновой ленты?
Следующая черепашья история рассказана древнегреческим философом Зеноном. Много светлых голов ломало над этим парадоксом Зенона головы. Ну, а Вам то, любые проблемы по плечу, так что слушайте: «Быстроногий Ахилл хочет поймать черепаху, которая находится на расстоянии 1 км от него. К тому времени, когда Ахилл добегает до того места, где первоначально находилась черепаха, та успевает уползти вперед на 10 м. За то время, которое требуется Ахиллу, чтобы пробежать эти 10 м, черепаха снова успевает уползти на какое-то расстояние. Каждый раз когда Ахилл добегает до того места где находилась черепаха, она успевает уползти вперед, хоть на толщину человеческого волоса. Следовательно, Ахиллу никогда не догнать черепаху. Правильны ли данные рассуждения?»
Черепахи любят попутешествовать, потому что любопытны и их не мучает ностальгия – черепаший дом путешествует вместе с ней. Черепаха вышла из точки А и пришла в точку В, двигаясь по произвольной траектории с произвольной скоростью. Вслед за ней из точки А вышла вторая черепаха, которая каждый момент двигалась в направлении первой (с произвольной скоростью) и в конце концов также пришла в точку В. Докажите, что путь, пройденный второй черепахой (к моменту прихода обеих в В), не превосходит пути первой.
Половину пути первая черепаха ползла со скоростью 12 см/с. Остальной путь он ползла со скоростью 4 см/с. Какова средняя скорость черепахи?
Другое дело, если на пути черепахи возникнет препятствие – гора или холм. Тут надо потрудиться, да и само путешествие становится замысловатым. Предлагаю для обсуждения следующий вариант, не лишенный загадочности. Черепаха каждый день взбирается на гору на 70 м вверх и ночью спускается на 40 м вниз. На какой день она, начав от подножия горы, взберется на её вершину, высота которой 190 м?
Многое повидает черепаха во время своего путешествия, со многими встретится. Но ничто ей не помешает достичь своей цели. Большинство людей к черепахам относится благосклонно и не доставляют им хлопот, но поглазеть на что-то любопытное, в том числе и на ползущую черепаху, всегда готовы. Представим, что черепаха ползла с непостоянной скоростью. В течение шести минут несколько человек наблюдали за ней, так что ни в какой момент она не была без наблюдения. Каждый наблюдал ровно 1 минуту и обнаружил, что за эту минуту черепаха проползла ровно 1 м. Докажите, что за шесть минут черепаха могла проползти самое больше 10 м.
Достоверность повествования может быть подвергнута сомнению, но от этого проблемы, поставленные в этом эссе, не теряют своей математической прелести и актуальности. Именно, на это и следует обратить внимание.
Заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9, но так, чтобы в любой строке по горизонтали и по вертикали и в каждом из девяти блоков, отделенных жирными линиями, не было двух одинаковых цифр. Желаем удачи!
