Задания 2-го финального тура конкурса «Этот прекрасный, удивительный и загадочный мир». МАТЕМАТИКА
5 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Часы и время
Что такое время? Кто-то знает это? Вряд ли. Но вот измерить его способен каждый разумный человек. Так ли это или не так мы узнаем через некоторое время. Опять же время…
Время у многих ассоциируется с часами, а точнее со стрелками, которые непостижимым образом отмеряют секунду за секундой неумолимо и верно. Вот и мы за ними понаблюдаем и, конечно же, поразмышляем:
1.Часы показывают три часа. Через какое время минутная стрелка догонит часовую?
2. Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелка составляют прямой угол?
3. «Бьют часы двенадцать раз…» поется в популярной песне. А сколько всего ударов в сутки делают часы, если в двенадцать часов (дня или ночи) они бьют двенадцать раз, в два часа – два раза и т. д., да ещё в промежутках бьют один раз, отмечая середину каждого часа?
4. Двое часов начали и кончили бить одновременно. Первые бьют через каждые две секунды, вторые – через каждые три секунды. Всего прозвучало 13 ударов (слившиеся удары воспринимались как один). Сколько времени на первых часах?
Иногда часы спешат или отстают. Это доставляет много хлопот. Хотите знать какие? Тогда ответьте на следующие вопросы:
1. Какие часы чаще показывают точное время: те, которые отстают на 1 минуту в день, или те, которые стоят?
2. Проснувшись, Винни-Пух обнаружил, что ходики стоят. Он завел их и отправился в гости к Кролику. Вернувшись, Пух правильно поставил время. Как ему это удалось?
А есть совсем удивительные случаи из жизни часов и людей, которые заняты часами практически всю жизнь. Мы о них не должны забывать и поэтому вот вам следующая задача. Один чудаковатый часовщик смастерил странные часы. От полуночи до часа они идут нормально, показывая верное время, но затем часовая стрелка начинает идти со скоростью минутной, а минутная со скоростью часовой. Через час стрелки вновь меняются скоростями, и так каждый час. Укажите все моменты времени, когда часы показывают верное время.
Время как вода просачивается сквозь пространство и наши тела, увлекая нас за собой. Оно неуловимо и всегда с нами. Оно – это мы. Не станет нас и не станет времени для нас. Но пока мы здоровы и веселы, надо наслаждаться каждым его мгновением. Даже во время решения задач которые мы вам сегодня предложили.
Задание №2: Найдите ошибку в рассуждениях, которые даны в математическом софизме: «Единица равна нулю».
Возьмем уравнение
x-a=0
Разделив обе его части на х-а, получим
Откуда сразу же получаем требуемое равенство
1=0
Задание №3: Чтобы равенства, выложенные спичками, стали верными необходимо переложить в каждом всего лишь одну спичку. Какую?
6 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Ковбои в салуне
Где ковбои обычно отдыхают от своей трудной работы? Конечно же, в салуне. Там же решают и множество других дел. Чтобы найти ковбоя, не надо его искать по всей прерии, достаточно каждый день наведываться в салун и спросить у бармена.
Да и ковбою незачем сновать по городку, все равно всё мужское население побывает там, в течение недели. Два ковбоя у салуна считали в течение часа всех, кто проходил мимо них по тротуару. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взад и вперед по тротуару. Кто насчитал больше прохожих?
Некая компания ковбоев одного техасского городка собиралась в салуне 40 раз. Каждый раз в салуне присутствовало 10 ковбоев, причем никакие двое из членов компании не встречались на вечеринках в салуне более одного раза. Докажите, что число ковбоев городка больше 60.
Те, кто работают в салуне, тоже должны быть парнями без нервов. Потому что в салуне бывает всякое. Как-то ковбой Гари вошел в салун и попросил воды. Вместо ответа хозяин выхватил кольт и выстрелил потолок. Ковбой поблагодарил и вышел. В чем дело?
Обманывать ковбоя, мало кто решится, но бывает всякое, так как от жадности нет спасения. Однажды ковбой Джо зашел в салун и попросил у хозяина бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табаку и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Хозяин потребовал 11 долларов 80 центов (в одном долларе 100 центов), на что Джо вытащил револьвер. Хозяин сосчитал снова и исправил ошибку. Как Джо догадался, что хозяин пытался его обсчитать?
Нередко вечеринки в салуне заканчивались потасовками или, что ещё хуже, стрельбой. Среди девяти допоздна засидевшихся и выпивших ковбоев некоторые поссорились и вызвали друг друга на дуэль. Докажите, что если среди них нет трех, которые должны драться друг с другом, то среди ковбоев найдутся четверо друзей.
Ковбои не проводят все свое свободное время в салуне, потому что его у них практически нет. Им необходимо пасти скот или лошадей, а это нелегкое занятие без перерывов на каникулы, если конечно ковбой хочет что-то заработать. Поэтому ковбой вечно в пути. По четырем прямым дорогам, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, равномерно каждый со своей скоростью скачут четыре ковбоя. Известно, что первый ковбой встретится со вторым, с третьим и с четвертым, а второй – с третьим и с четвертым. Докажите, что третий и четвертый ковбои тоже встретятся друг с другом.
Ковбои простые, несколько грубоватые, американские пастухи и коноводы. Жизнь у них не проста и полна лишений. Им необходимо быть мужественным, чтобы защитить свое стадо (основное свое богатство) и семью от хищников и бандитов. И если они иногда после многомесячной работы зайдут в салун, то будем к ним немного снисходительными. Они же обыкновенные трудяги, поэтому и радости у них такие же простые как они сами.
Задание №2: Найдите ошибку в рассуждениях, которые даны в математическом софизме: «Дважды два - пять!».
Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство:
4:4= 5:5 (1) .
После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства (1) будем иметь:
4∙(1:1)=5∙(1:1) (2)
или
(2∙2)(1:1)=5(1:1) (3)
Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (2) устанавливаем:
2∙2=5.
Задание №3: Чтобы равенства, выложенные спичками, стали верными необходимо переложить в каждом всего лишь одну спичку. Какую?
7 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Птички вольные
Птицы – потомки летающих динозавров не столь велики и ужасны как их предки. Скорее они вызывают у нас лишь любопытство, смешанное с умилением или раздражением, не более того. Мы их видим на деревьях, на крышах зданий или на проводах. Поэтому нам порой кажется, что они то и дело перепархивают с ветку на ветку или с провода на провод. Их так порой трудно сосчитать. Вы сейчас сами в этом убедитесь. Вот несколько примеров:
1. На трех проводах сидело 24 воробья. Когда с первого провода перелетели на второй 4 воробья, а со второго перелетели на третий 3 воробья, то на всех проводах воробьев оказалось поровну. Сколько воробьев сидело на каждом проводе первоначально?
3. На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидят 44 веселых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один по часовой стрелке, другой против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве. А если чижей и деревьев n?
Жизнь птиц – это непрерывная борьба за жизнь. Они охотятся за добычей, и за ними постоянно ведется охота. Добычей птиц являются не только червяки и мухи, но и добыча покрупнее. На противоположных берегах реки напротив друг друга растут две пальмы. Высота одной из них 10 м, другой – 15 м, расстояние между основаниями пальм 25 м. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно птицы заметили рыбу, выплывшую на поверхность реки между пальмами. Птицы бросились к рыбе и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы выплыла рыба?
Когда птиц становится очень много, то пищи в лесу на всех не хватает, и они начинают разорять сады и огороды. Но это не может происходить безнаказанно. На дереве сидело 20 ворон. Охотник выстрелил и убил двух ворон. Сколько ворон осталось на дереве?
В большинстве же случаев птицы ведут себя незаметно. Зачем им к себе привлекать внимание? Недолго и беду накликать.
В парке живут воробьи, синицы, голуби и вороны – всего 10000 птиц. Воробьев в 10 раз больше, чем ворон; голубей на 400 больше, чем ворон; синиц на 1400 меньше, чем воробьев. Сколько каких птиц в парке?
Птицы, сидящие в клетке, не знают трудностей, которые ждут их сородичей на воле. Но вольные птицы сильны духом и умом. Они могут сами добывать пищу, вить гнезда и выводить потомство. Им в этой жизни всего хватает, им нужна только одна свобода.
Задание №2: Найдите ошибку в рассуждениях, которые даны в математическом софизме: «Любое число равно нулю».
Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х бесконечного числа слагаемых, равных а:
х=а+а+а+а+… .
Очевидно, что мы можем представить эту сумму как
х=а+(а+а+а+….)
в которой, сумма, стоящая в скобках, также равна х как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что можем записать, что х=а+х, откуда заключаем, что
а=0
Задание №3: Чтобы равенства, выложенные спичками, стали верными необходимо переложить в каждом всего лишь одну спичку. Какую?
8 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Барон Мюнхгаузен на заслуженном отдыхе
Прекрасный и правдивый человек барон Мюнхгаузен много повидал на свете. И, в конце концов, решил начать спокойную жизнь в сельской местности на родине. Живя в замке, пожалованном ему за его подвиги, он неспешно писал свои воспоминания о своих великих приключениях и подвигах в кругу домочадцев.
В круглой гостиной замка развешаны портреты всех его прежних владельцев. Слуге разрешается менять местами любые два соседних портрета, кроме портретов отца и сына. Докажите, что он может перевесить портреты в произвольно заданном порядке (расположения портретов, отличающиеся поворотом, считаются одинаковыми).
Из своих путешествий он привез с собой экзотических животных, как память о своих удивительных путешествиях. В квадратной клетке со стороной 1 м находится анаконда длиной 10 м. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он в любой момент может одним выстрелом прострелить анаконду сразу в 6 местах. Не преувеличивает ли барон? (Анаконду можно считать произвольной ломаной длины 10 м, расположенной внутри квадрата 1×1 м.)
Он не только много повидал, но и настолько разбогател, что мог себе жить в свое удовольствие. В стране фараонов одинаковыми монетами любого достоинства можно набрать сумму ровно в один динар, причем для этого нужно менее 100 монет. Барон Мюнхгаузен привез оттуда 7 монет разных достоинств и утверждает, что они как раз составляют сумму в один динар. Могут ли слова барона быть правдой?
В суде жители отмеченной на нем деревни утверждают, что живут не на земле барона. Он не согласен. Кто прав?
В лесу барона Мюнхгаузена растут елки и березы. Барон утверждает, что на расстоянии ровно 1 км от каждой елки растет в точности 10 берез, причем елок в его лесу больше, чем берез. Может ли это быть?
Как-то обходя свои владения, барон Мюнхгаузен и его слуга Томас подошли к реке. На берегу они обнаружили лодку, способную перевести лишь одного человека. Тем не менее они переправились через реку и продолжили путешествие. Могло ли так быть?
Как видите – удивительное рядом! И чтобы сомневаться в правдивости барона нужно иметь серьезные основания. А они у вас появились после длительных раздумий? Нет, то-то!
Задание №2: Найдите ошибку в рассуждениях, которые даны в математическом софизме: «Неравные числа равны».
Возьмём два неравных между собой произвольных числа a и b. Пусть их разность равна c, т.е. a-b = c. Умножив обе части этого равенства на (a-b), получим:
(a-b)2 = c(a-b)
раскрыв скобки, придем к равенству
a2-2ab+b2 = ca-cb
Преобразованием получаем
a2-ab-ac = ab-b2-bc
Вынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа получим
a(a-b-c) = b(a-b-c)
Разделив последнее равенство на (a-b-c), получаем
a = b
Задание №3: Чтобы равенства, выложенные спичками, стали верными необходимо переложить в каждом всего лишь одну спичку. Какую?
9 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Служба солдатская
Нелегка солдатская служба. Марш-броски, наряды по роте и на кухню, стрельбы, чистка оружия, хождение строем по плацу, занятия на гимнастических снарядах и тренажерах и множество других, не менее интересных мужских дел. Все это для того чтобы сплотить солдат, укрепить их физически и психологически, сделать настоящими защитниками Родины.
Утро начинается с зарядки, продолжается гигиеническими процедурами, а затем завтрак. Дальше день продолжается по особому плану, например, начинаются строевые занятия для подготовки праздничного парада. Полк солдат выстроен в виде прямоугольника так, что в каждой шеренге солдаты стоят по росту. Докажите, что если в каждой колонне перестроить солдат по росту, то в каждой шеренге они по прежнему будут стоять по росту.
Но может день начинаться и по другому - в наряде по кухне – кормить солдат части – накрыть и убрать приходилось всем. Два солдата чистили картофель, находясь в наряде по кухне. Один очищал в минуту 2 картофелины, а второй – 3 картофелины. Вместе они очистили 400 штук. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 минут больше первого?
Главное для солдата – умение воевать. Воевать в слепую невозможно необходима разведка – разведка бывает разная – небольшие разведгруппы пробираются в тыл врага, чтобы взять в плен какого-нибудь офицера противника или разведка по всему фронту через имитацию атаки – «разведка боем». Для этого необходимы настоящие храбрецы. Тысяче солдат присвоили порядковые номера от 1 до 1000, а затем командир спросил каждого, хочет ли он в разведку. Для любого натурального числа n, где 1 ≤ n ≤ 1000 , солдат номер n захотел в разведку, если в разведотряде будет не менее i2/1000, и не более i человек. Какую наибольшую численность может иметь разведотряд, где удовлетворены пожелания всех пошедших в разведку?
Главное на войне – уничтожить врага и самому остаться невредимым. Это не легкая задача. В одном из 1000 окопов, расположенных в ряд, спрятался пехотинец. Автоматическая пушка может одним выстрелом «накрыть» любой окоп. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец (если уцелел) обязательно перебегает в соседний окоп (быть может, только что обстрелянный). Сможет ли пушка наверняка попасть в пехотинца?
Чтобы выиграть сражение очень часто необходимо совершить маневр, для того чтобы занять выгодную позицию или нанести неожиданный удар со стороны которой враг его не ждет. К берегу подошли 30 солдат. У того же берега была лодка и в ней двое ребят. Как переправить на другой берег весь отряд, если в лодке могут ехать или двое ребят или один солдат? Сколько раз лодка пересечет реку туда и обратно, если в конце концов она вернется на старое место и оба мальчика будут на том же берегу?
Быстрота и неожиданность маневра – залог успеха. В этом случае без солдатской смекалки не обойтись. 12 солдат получили задание: быстрее добраться по персеченной местности до пункта, находящегося на расстоянии 20 км (при этом прибыть в пункт назначения надо было всем вместе). В их распоряжении имелась одна легковая автомашина, на которой, кроме шофера, могло поместиться 4 человека. Солдаты стали обсуждать с шофером, как же быть.
- Я могу ехать со скоростью двадцать километров в час, - сказал шофер. – А с какой скоростью вы сможете идти пешком?
- Каждый из нас способен делать четыре километра в час, - ответили солдаты.
- Очень хорошо! – воскликнул шофер. – Тогда я поеду вперед с четырьмя из вас, высажу их в определенном месте, чтобы они шли дальше пешком, а сам поеду обратно и заберу следующую партию из четырех человек (которые к этому времени уже успевают пройти какой-то отрезок пути). Подвезу их, а затем высажу и снова вернусь за оставшимися четырьмя. От вас будет требоваться одно: идти с постоянной скоростью.
Шофер справился со своим делом: все солдаты одновременно прибыли в пункт назначения. Сколько времени они затратили на дорогу?
Всему есть конец, в том числе и солдатской службе. Во взводе национальной гвардии служат сержанты и рядовые, причем каждый рядовой подчинен одному или двум сержантам. Докажите, что можно уволить в запас не более половины взвода так, что каждым оставшимся рядовым будет командовать ровно один сержант.
Служба в армии – это служба родине. Чтобы кто ни говорил – уклонение от службы, это есть первый шаг к предательству родины.
Задание №2: Найдите ошибку в рассуждениях, которые даны в математическом софизме: «Восемь равно шести».
Решим систему двух уравнений:
Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда
8=6
Задание №3: Чтобы равенства, выложенные спичками, стали верными необходимо переложить в каждом всего лишь одну спичку. Какую?
10 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Бриллианты и люди
Бриллиантом называют обработанный ювелиром алмаз. Только после этого невзрачный прозрачный камень превращается в сверкающую драгоценность и приобретает истинную ценность. У любой ценности должна быть цена и она есть результат человеческого труда и обыкновенной удачи. Попробуем разобраться в этом:
1. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Если бриллиант разбить на две части, то, в каком случае, общая цена двух частей будет наименьшей?
2. У ювелира во время шлифовки раскололся бриллиант, в результате стоимость его снизилась на 32%. Какая часть бриллианта откололась, если стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его массы?
3. Один сапфир и два топаза ценней, чем изумруд, в три раза. А семь сапфиров и топаз его ценнее в восемь раз. Определить прошу я вас, сапфир ценнее иль топаз?
Именно размеры и соответственно вес определяют ценность бриллианта и, конечно, шлейф легенд и слухов сопутствующих любой известной и значительной драгоценности. А вы их можете взвесить? Если да, то помогите нам. 68 алмазов различны по весу. За 100 взвешиваний на чашечных весах без гирь найдите самый легкий и самый тяжелый алмаз.
Еще одна проблема. Продавец ювелирного магазина решил убедиться, что 10 бриллиантов, расположенных на витрине в ряд и весящих 90, 91, …, 99 каратов, действительно расположены в порядке возрастания весов. Каким наименьшим числом взвешиваний на электронных весах, выдерживающих не более 200 каратов, он может это сделать?
Многие мечтают неожиданно обогатиться, найдя клад или, хотя бы, кошелек набитый крупными купюрами. Поэтому особой популярностью пользуются рассказы о неожиданных обогащениях, кражах и грабежах. Даже детские сказки грешат этим, например, такая сказка как «Али-Баба и сорок разбойников».
Али-Баба пришел в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук. Полный мешок золота весит 200 кг, а полный мешок алмазов – 40 кг. Пустой мешок ничего не весит. Килограмм золота стоит 20 динариев, а килограмм алмазов – 60. Сколько денег может выручить Али-Баба за сокровища, если он способен унести не более 100 кг?
Главное богатство людей, не то что хранится в сейфах или кладах, а сами люди. Внешний блеск никогда не затмит истинную красоту человека, не приукрасит душевное уродство и не заполнит чем-то прекрасным духовную пустоту человека.
Задание №2: Найдите ошибку в рассуждениях, которые даны в математическом софизме: «Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его».
Возьмем два произвольных положительных равных числа a и b и напишем для них следующие очевидные неравенства:
a > - b и b > - b. (1)
Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство a·b>b·b, а после его деления на b, что вполне законно, ведь b>0, придем к выводу, что
a > b. (2)
Записав же два других столь же бесспорных неравенства
b > - a и a > - a, (3)
Аналогично предыдущему получим, что b·a > a·a, а разделив на a>0, придем к неравенству
b > a. (4)
Итак, число a, равное числу b, одновременно и больше, и меньше его.
Задание №3: Чтобы равенства, выложенные спичками, стали верными необходимо переложить в каждом всего лишь одну спичку. Какую?
11 класс
Задание №1: Ученик должен написать математическое сочинение на заданную тему, в котором он должен дать решение и объяснение поставленных в математическом эссе проблем познания (выделены жирным шрифтом).
Гангстеры
Жизнь гангстера – отобрал, убил, погулял, поймали – тюрьма. Романтика!
Жизнь киношная и жизнь реальная для гангстера – две большие разницы. Киношный образ гангстера – образ неумолимого и бесстрашного грабителя и убийцы. Реальность проще – гангстеры – это стая трусливых шакалов под предводительством более сильного и злобного шакала.
Ограбить или украсть – это половина дела. Вторая половина – разделить и уцелеть. Приведем несколько случаев из их жизни.
1. Два гангстера делят добычу. Каждый уверен, что мог бы поделить добычу на 2 равные части, но второй ему не доверяет. Как гангстерам разделить добычу, чтобы оба остались довольны?
3. Двенадцать гангстеров напали на Буратино и отобрали у него все богатство – почти 30000 золотых монет. Стали они делить деньги поровну, но один золотой оказался лишним. Гангстеры передрались из-за того, кому достанется лишний золотой, и ненароком одного убили. Оставшиеся 11 гангстеров стали опять делить богатство поровну, но все повторилось: один золотой оказался лишним, бандиты передрались, одного убили, опять стали делить богатство поровну, один золотой оказался лишним, и так далее. Когда в живых осталось шестеро гангстеров, самый умный из них, который все время стоял в стороне и думал, сказал: «Стойте! Дальше все снова будет также! Отдадим лучше один золотой Буратино, чтобы о нас не говорили, что мы отбираем все подчистую, а остальное раздели поровну». Его сообщники удивились, но в конце концов согласились с этим предложением. Прав ли был умный бандит? Сколько золотых было у Буратино?
Нет у них друзей – только подельники. Никому они не верят и со всеми во вражде, в том числе с такими же бандитами. Им есть что делить – территорию, на которой они грабят и на которой они до поры до времени в относительной безопасности. Среди бесконечного числа гангстеров каждый охотится за каким-то одним из остальных. Докажите, что существует бесконечное подмножество этих гангстеров, в котором ни один не охотится за кем-либо из этого подмножества.
Единственная их надежда – звериное чутье, острый глаз, крепкая рука и надежное оружие. Во время криминальной разборки, когда банда на банду, даже это не всегда помогает. 50 гангстеров стреляют одновременно. Каждый стреляет в ближайшего к нему гангстера (или в одного из ближайших, если несколько человек находятся на одинаковом расстоянии от него) и убивает его наповал. Найдите наименьшее возможное число убитых. (Гангстеров можно представить как различные точки на плоскости.)
Но главная интрига в их жизни – поймает или не поймает их полиция. Без определенной, четко выработанной стратегии в каждом отдельном случае поимка преступника дело случайное. Например, в центре квартала в форме квадрата находится полицейский, а в одной из вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость полицейского равна u, а гангстера υ. Цель полицейского – оказаться с гангстером на одной стороне квадрата. Докажите, что: а) если u/υ > 1/3, то полицейский может добиться своей цели; б) если u/υ < 1/3, то гангстер может помешать ему это сделать.
Борьба между добром и злом никогда не прекратится. Зло – обратная сторона добра. Поэтому добро должно быть с кулаками. А иначе у него нет шансов.
Задание №2: Найдите ошибку в математическом софизме: «Половина любого числа равна половине ему противоположного»
Возьмем произвольное число а и положим
х2+2ах+а2=х2.
Так как х2+2ах+а2= (х+а)2, то предыдущее равенство можно записать в виде
(х+а)2= х2, (1)
а после извлечения квадратного корня из обеих частей последнего равенства получаем
х+а= х. (2)
Поскольку по условию 
, то из равенства (2) имеем 
, и поэтому получаем окончательно 
Задание №3: Чтобы равенства, выложенные спичками, стали верными необходимо переложить в каждом всего лишь одну спичку. Какую?
